Calculer une primitive

Calculer une primitive

Grande découverte cette année en Terminale, les primitives et les intégrales de fonctions! Jusqu'à présent vous saviez calculer la dérivée d'une fonction, à présent vous allez devoir trouver sa primitive, c'est à dire faire le travail inverse.
 
A quoi ça sert?
Le but ultime est de calculer des aires que l'on ne serait pas capables de calculer par des formules. Toute forme géométrique composée de segments peut être découpée en formes connues ( triangles, trapèzes rectagles etc) pour en calculer l'aire. Mais lorsque le contour de la forme est courbe, et que ce n'est pas un arc de cercle, la seule méthode consiste à utiliser les intégrales. Sous certaines conditions à vérifier , l'aire cherchée sera égale à une intégrale à calculer.
 
Que dit le cours?
Il dit pas mal de choses, mais la formule principale est la suivante : " l'intégrale de f entre a et b est égale à la primitive de f calculée entre les bornes a et b", c'est à dire :

 
Ok.. mais c'est quoi, la primitive?
Et oui, il faut prendre les choses dans l'ordre. Pour calculer une aire, il faut calculer une intégrale. Pour calculer une intégrale, il faut trouver une primitive.
 
Cours : La primitive de f est la fonction F telle que F' = f


Bref, il faut trouver la fonction qui permet de retomber sur f lorsqu'on la dérive.
Exemple : f(x) = 2x ,   alors    F(x) = x², puisque  (x²)' = 2x.
 
Mais la recherche de la primitive n'est pas toujours aussi évidente, il faut savoir jongler avec les expressions de f.
 
Exemple : f(x) = 10x⁴ .
La primitive sera 2x⁵ . Apprenons la méthode pour parvenir à ce résultat.
Certains apprendront un tableau des primitives, ce n'est pas ma méthode car au final, on se retrouve avec des élèves qui confondent leur tableau de primitives et leur tableau de dérivées, c'est dommage .
 
Nous n'allons utiliser QUE le tableau, déjà connu , des dérivées. Et nous allons, à chaque fois, nous demander à quel genre de dérivée nous pouvons faire correspondre f(x).


 → 1ère étape, les primitives en "x":

Tableau des dérivées en x

Exemple 1 : f(x) = 10x⁴ .   
f(x) est donc du genre "nx^n-1" ( f est considérée comme une dérivée, n'oublions pas), qui est la dérivée de xⁿ .
Donc n-1 = 4, d'où n=5.
Nous allons donc écrire f(x) sous la forme approchée  dont on connait exactement la primitive : f(x) ≈ nx^n-1= 5x⁴  * 2.
On connait la primitive de 5x⁴ , il suffit donc de la multiplier par 2 pour obtenir celle de 10x⁴ .
F(x) = 2 * x⁵ =2x⁵.
 
Exemple 2 
  ^{du genre} 
              
Exemple 3
^{du genre} 
                 
Exemple 4
^{du genre    , qui est la dérivée de  _.}
                   
 
Trucs & Astuces à se rappeler pour les primitives en "x" :
 

• La primitive de  xⁿ   est  xⁿ⁺¹/(n+1) . Cela permet d'aller plus vite.

 

• On n'oublie pas : le but est de savoir à quelle dérivée f(x) ressemble. Donc, on reste LOGIQUE !!
  
  • Si c'est une puissance, alors c'est "nx^n-1" , la dérivée de xⁿ,
  • si c'est une fraction avec x au dénominateur, c'est la dérivée de ln(x),
  • si c'est x² au dénominateur alors c'est la dérivée de 1/x,
  • s'il y a une racine, alors obligatoirement c'est la fonction racine.

 

• Le piège type : 

Cela ne ressemble à aucune dérivée que l'on connait. Il faut alors penser à séparer la fraction:

• Si on a une fonction avec une puissance supérieure à 2 au dénominateur, on "remonte" alors le x pour que la fonction soit une puissance de x  :

 
→ 2ème étape, les primitives en en "u" et "v"

  Tableau des dérivées en u et v

On a barré en rouge les formules qui ne servent pas à la recherche de primitives. Parce qu'on ne trouvera JAMAIS dans un exercice une fonction du genre u'v + uv' dont il faut chercher la primitive. Pourquoi? parce que cette expression u'v+ uv' serait développée, réduite, bref, elle n'apparaitrait pas comme cela sur un sujet.
Donc, la fonction donnée ne correspondra jamais à u'v+uv', ni aux 2 autres barrées en rouge.
Comme précédemment, le but est de reconnaitre en f(x) la dérivée d'une des lignes du tableau.
 
<sup>Exemple 1 :    ,
donc par identification, on trouve u, et on trouve u' par calcul de la dérivée de u:

                   

Exemple 2 :     
donc par identification, on trouve u, et on trouve u' par calcul de la dérivée de u:</sup>
 
On écrit alors f(x) sous la forme de la dérivée telle qu'elle est écrite dans le tableau, et on cherche le chiffre par lequel on doit multiplier l'expression pour retrouver f(x) exactement.

              

<sup>Exemple 3:  
              

Exemple 4 :</sup> 
         
                      
 
Trucs & Astuces à se rappeler pour les primitives en " u et v" :
 
On n'oublie pas : le but est de savoir à quelle dérivée f(x) ressemble.

• Si c'est une expression "en ligne" ( pas de x au dénominateur), alors c'est obligatoirement  nu^n-1u' ,
• S'il y a de l'exponentielle, alors c'est obligatoirement u'e^u,
• S'il y a une racine carré, c'est obligatoirement u'/2racine(u),
• Si c'est une fraction avec x au dénominateur, 2 possibilités : soit c'est -u'/u² ( la dérivée de 1/u) soit c'est u'/u (la dérivée de ln(u)).
  Pour les différencier, il faut simplement regarder si tout le dénominateur est au carré ou non.
  Si oui, c'est  -u'/u², si non, c'est u'/u.